تمرین ۱ تعیین نقاط ناپیوستگی توابع حسابان یازدهم
با رسم نمودار توابع زیر، نقاط ناپیوستگی هر تابع را (در صورت وجود) تعیین کنید.
الف) $y = |x - ۱| + ۲$
ب) $y = x - [x]$
پ) $y = [x] + [-x]$
ت) $y = \begin{cases} x(x - ۱) & x \le ۱ \\ -x + ۲ & x > ۱ \end{cases}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم
سلام! **نقاط ناپیوستگی** نقاطی هستند که نمودار تابع در آنها پرش، حفره یا شکاف دارد. برای توابع جزء صحیح، ناپیوستگی در نقاط صحیح رخ میدهد. 🧠
---
### الف) $y = |x - ۱| + ۲$
* **نوع تابع**: قدر مطلقی.
* **رسم نمودار**: نمودار $y=|x|$ که ۱ واحد به راست و ۲ واحد به بالا منتقل شده. رأس در $(۱, ۲)$ است.
* **نتیجه**: این تابع یک تابع **پیوسته** است (نمودار بدون پرش یا حفره است).
* **نقاط ناپیوستگی**: **وجود ندارد**.
---
### ب) $y = x - [x]$
* **نوع تابع**: ترکیبی از جزء صحیح. این تابع همان تابع $athbf{y = \{x\}}$ (جزء اعشاری) است.
* **رسم نمودار**: شامل قطعاتی از خط $y = x - n$ به طول ۱ واحد است. در هر نقطه صحیح $n$، تابع از $y = ۰$ شروع و تا $y = ۱$ بالا میرود (و در $x=n+۱$ پرش میکند).
* **نتیجه**: این تابع در تمام نقاط صحیح ناپیوستگی **پرشی** دارد.
* **نقاط ناپیوستگی**: $\mathbf{x \in \mathbb{Z}}$ (اعداد صحیح).
---
### پ) $y = [x] + [-x]$
* **نوع تابع**: جمع دو جزء صحیح.
* **محاسبه ضابطه**:
* اگر $x \in \mathbb{Z}$ باشد، $[x] = x$ و $[-x] = -x$. پس $y = x + (-x) = \mathbf{۰}$.
* اگر $x \notin \mathbb{Z}$ باشد، $[x] + [-x] = \mathbf{-۱}$.
* **رسم نمودار**: در نقاط صحیح $y=۰$ و در نقاط غیرصحیح $y=-۱$.
* **نتیجه**: این تابع در تمام نقاط صحیح ناپیوستگی **پرشی** دارد.
* **نقاط ناپیوستگی**: $\mathbf{x \in \mathbb{Z}}$ (اعداد صحیح).
---
### ت) $y = \begin{cases} x(x - ۱) & x \le ۱ \\ -x + ۲ & x > ۱ \end{cases}$
* **نوع تابع**: چندضابطهای. نقاط ناپیوستگی احتمالی، نقطه مرزی $athbf{x = ۱}$ است.
* **بررسی در $x = ۱$**:
* **مقدار و حد چپ**: $f(۱) = ۱(۱ - ۱) = \mathbf{۰}$. $\lim_{x \to ۱^-} f(x) = ۰$.
* **حد راست**: $\lim_{x \to ۱^+} f(x) = -۱ + ۲ = \mathbf{۱}$.
* **نتیجه**: چون $\lim_{x \to ۱^-} f(x) \ne \lim_{x \to ۱^+} f(x)$، حد در $x=۱$ موجود نیست.
* **نقاط ناپیوستگی**: $\mathbf{x = ۱}$ (ناپیوستگی پرشی).
---
تمرین ۲ تعیین مقدار پارامتر برای پیوستگی در یک نقطه حسابان یازدهم
در توابع زیر مقدار $a$ را طوری تعیین کنید که هر تابع در نقطه $x = ۱$ پیوسته باشد.
الف) $f(x) = \begin{cases} ۲x - ۱ & x < ۱ \\ a & x = ۱ \\ -x + ۲ & x > ۱ \end{cases}$
ب) $g(x) = \begin{cases} \frac{x^۲ + x - ۲}{x - ۱} & x \ne ۱ \\ a & x = ۱ \end{cases}$
پ) $h(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x} - ۱}{x - ۱} & ۰ < x < ۱ \\ [x] + a & x \ge ۱ \end{cases}$
ت) $k(x) = ([x] - a)[x]$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم
سلام! تابع در $\mathbf{x = ۱}$ پیوسته است اگر سه شرط زیر برقرار باشد: $\mathbf{f(۱)}$ تعریف شده، $\mathbf{\lim_{x \to ۱} f(x)}$ موجود، و $\mathbf{\lim_{x \to ۱} f(x) = f(۱)}$ باشد. 🤝
---
### الف) $f(x) = \begin{cases} ۲x - ۱ & x < ۱ \\ a & x = ۱ \\ -x + ۲ & x > ۱ \end{cases}$
**۱. حد در $x = ۱$**: حد چپ و راست باید برابر باشند:
* **حد چپ**: $\lim_{x \to ۱^-} (۲x - ۱) = ۲(۱) - ۱ = ۱$
* **حد راست**: $\lim_{x \to ۱^+} (-x + ۲) = -۱ + ۲ = ۱$
* **نتیجه**: $\lim_{x \to ۱} f(x) = ۱$.
**۲. شرط پیوستگی**: حد باید برابر مقدار تابع باشد: $\lim_{x \to ۱} f(x) = f(۱)$.
$$\mathbf{a = ۱}$$
---
### ب) $g(x) = \begin{cases} \frac{x^۲ + x - ۲}{x - ۱} & x \ne ۱ \\ a & x = ۱ \end{cases}$
**۱. حد در $x = ۱$**: حد مبهم $\frac{۰}{۰}$. با تجزیه صورت، ابهام را رفع میکنیم:
$$x^۲ + x - ۲ = (x - ۱)(x + ۲)$$
$$\lim_{x \to ۱} \frac{(x - ۱)(x + ۲)}{x - ۱} = \lim_{x \to ۱} (x + ۲) = ۱ + ۲ = ۳$$
* **نتیجه**: $\lim_{x \to ۱} g(x) = ۳$.
**۲. شرط پیوستگی**: $\lim_{x \to ۱} g(x) = g(۱) = a$.
$$\mathbf{a = ۳}$$
---
### پ) $h(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x} - ۱}{x - ۱} & ۰ < x < ۱ \\ [x] + a & x \ge ۱ \end{cases}$
**۱. حد در $x = ۱$**: حد چپ و راست باید برابر باشند.
* **حد راست**: $\lim_{x \to ۱^+} ([x] + a) = [۱] + a = ۱ + a$.
* **حد چپ**: $\lim_{x \to ۱^-} \frac{\sqrt{x} - ۱}{x - ۱}$ (حد مبهم $\frac{۰}{۰}$).
* **رفع ابهام (همیوغ)**: $\lim_{x \to ۱^-} \frac{\sqrt{x} - ۱}{(\sqrt{x} - ۱)(\sqrt{x} + ۱)} = \lim_{x \to ۱^-} \frac{۱}{\sqrt{x} + ۱} = \frac{۱}{\sqrt{۱} + ۱} = \frac{۱}{۲}$
* **برابری حدها**: $۱ + a = \frac{۱}{۲}$
**۲. حل برای $a$**: $a = \frac{۱}{۲} - ۱ = -\frac{۱}{۲}$.
$$\mathbf{a = -\frac{۱}{۲}}$$
---
### ت) $k(x) = ([x] - a)[x]$
**۱. حد در $x = ۱$**: حد چپ و راست باید برابر باشند.
* **حد چپ**: $\lim_{x \to ۱^-} ([x] - a)[x]$. برای $x \to ۱^-$, $\mathbf{[x] = ۰}$.
$$\lim_{x \to ۱^-} (۰ - a)۰ = \mathbf{۰}$$
* **حد راست**: $\lim_{x \to ۱^+} ([x] - a)[x]$. برای $x \to ۱^+$, $\mathbf{[x] = ۱}$.
$$\lim_{x \to ۱^+} (۱ - a)۱ = \mathbf{۱ - a}$$
**۲. شرط پیوستگی**: برای پیوستگی در $x=۱$ (و وجود حد)، باید حد چپ و راست برابر باشند.
$$۰ = ۱ - a \implies \mathbf{a = ۱}$$
* **بررسی مقدار**: اگر $a=۱$ باشد، $k(۱) = ([۱] - ۱)[۱] = (۱ - ۱)۱ = ۰$. حد ($۰$) برابر مقدار ($۰$) است.
$$\mathbf{a = ۱}$$
تمرین ۳ اثبات عدم پیوستگی تابع چندضابطهای و کسری در صفر حسابان یازدهم
نشان دهید به ازای هیچ مقداری برای $a$، توابع زیر در $x = ۰$ پیوسته نیستند.
الف) $f(x) = \begin{cases} x & x < ۰ \\ a & x = ۰ \\ ۲x + ۱ & x > ۰ \end{cases}$
ب) $g(x) = \begin{cases} \frac{ax}{|x|} & x \ne ۰ \\ ۱ & x = ۰ \end{cases}$
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم
سلام! برای اثبات عدم پیوستگی، کافی است **یکی از سه شرط پیوستگی** ($\mathbf{f(۰)}$ تعریف شده، $\mathbf{\lim_{x \to ۰} f(x)}$ موجود، $\mathbf{\lim_{x \to ۰} f(x) = f(۰)}$) نقض شود. 🚫
---
### الف) $f(x) = \begin{cases} x & x < ۰ \\ a & x = ۰ \\ ۲x + ۱ & x > ۰ \end{cases}$
**۱. بررسی حد در $x = ۰$**:
* **حد چپ**: $\lim_{x \to ۰^-} x = \mathbf{۰}$
* **حد راست**: $\lim_{x \to ۰^+} (۲x + ۱) = ۲(۰) + ۱ = \mathbf{۱}$
**۲. نتیجه حد**: چون $\mathbf{۰ \ne ۱}$ است، $\mathbf{\lim_{x \to ۰} f(x) \quad \text{وجود ندارد}}$ (ناپیوستگی پرشی).
**۳. نتیجه نهایی**: چون حد در $x=۰$ موجود نیست، **به ازای هیچ مقداری برای $\mathbf{a}$، تابع $\mathbf{f}$ در $x=۰$ پیوسته نیست**.
---
### ب) $g(x) = \begin{cases} \frac{ax}{|x|} & x \ne ۰ \\ ۱ & x = ۰ \end{cases}$
**۱. بررسی حد در $x = ۰$**: ابتدا $|x|$ را ساده میکنیم:
* **حد چپ ($athbf{x < ۰}$)**: $|x| = -x$.
$$\lim_{x \to ۰^-} \frac{ax}{-x} = \lim_{x \to ۰^-} -a = \mathbf{-a}$$
* **حد راست ($athbf{x > ۰}$)**: $|x| = x$.
$$\lim_{x \to ۰^+} \frac{ax}{x} = \lim_{x \to ۰^+} a = \mathbf{a}$$
**۲. شرط وجود حد**: حد وجود دارد اگر حد چپ و راست برابر باشند:
$$-a = a \implies ۲a = ۰ \implies \mathbf{a = ۰}$$
**۳. بررسی پیوستگی (اگر $a=۰$ باشد)**:
* **حد**: اگر $a=۰$ باشد، $\lim_{x \to ۰} g(x) = ۰$.
* **مقدار تابع**: $g(۰) = ۱$ (داده شده).
* **نتیجه**: $\lim_{x \to ۰} g(x) = ۰ \ne g(۰) = ۱$.
**۴. نتیجه نهایی**: حد تابع تنها در $\mathbf{a=۰}$ موجود است، اما در آن حالت، $\mathbf{\lim_{x \to ۰} g(x) \ne g(۰)}$ است. بنابراین، **به ازای هیچ مقداری برای $\mathbf{a}$، تابع $\mathbf{g}$ در $x=۰$ پیوسته نیست**.
---
تمرین ۴ رسم نمودار تابع ناپیوسته و نوشتن ضابطه آن حسابان یازدهم
الف) نمودار یک تابع را رسم کنید طوری که در صفر ناپیوسته باشد ولی در صفر حد داشته باشد.
ب) نمودار یک تابع را رسم کنید طوری که در دو نقطه ۲ و ۳ ناپیوسته باشد و در این نقاط حد نداشته باشد.
پ) ضابطه یک تابع $f$ را بنویسید طوری که فقط در دو نقطه ناپیوسته باشد.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم
سلام! این تمرین بر فهم عمیق تفاوت بین **حد داشتن** و **پیوسته بودن** متمرکز است. 🧠
---
### الف) ناپیوسته در صفر، ولی حد در صفر موجود
**شرط**: $\lim_{x \to ۰} f(x) = L$ (موجود) اما $f(۰) \ne L$ یا $f(۰)$ تعریف نشده.
* **نمودار پیشنهادی (حفره با پرش مقدار)**:
* $\mathbf{f(x) = x + ۱}$ برای $\mathbf{x \ne ۰}$
* $\mathbf{f(۰) = ۳}$ (مقدار پرش یافته)
* در این تابع: $\lim_{x \to ۰} f(x) = ۱$ (حفره در $(۰, ۱)$) و $f(۰) = ۳$ (نقطه پر).
---
### ب) ناپیوسته و حد ناموجود در $x=۲$ و $x=۳$
**شرط**: در $x=۲$ و $x=۳$ **پرش** وجود داشته باشد (حد چپ $\ne$ حد راست).
* **نمودار پیشنهادی (تابع پلهای/چندضابطهای)**:
* $\mathbf{f(x) = ۲}$ برای $\mathbf{x < ۲}$
* $\mathbf{f(x) = ۰}$ برای $\mathbf{۲ \le x < ۳}$
* $\mathbf{f(x) = 3}$ برای $\mathbf{x \ge ۳}$
* **بررسی**:
* **$x=۲$**: $\lim_{x \to ۲^-} = ۲, \lim_{x \to ۲^+} = ۰$. حد ندارد.
* **$x=۳$**: $\lim_{x \to ۳^-} = ۰, \lim_{x \to ۳^+} = ۳$. حد ندارد.
---
### پ) ضابطه تابعی که فقط در دو نقطه ناپیوسته باشد
ما از توابع گویا استفاده میکنیم تا در نقاطی که مخرج صفر میشود ناپیوسته باشد، یا از توابع با ضابطه ترکیبی.
* **ضابطه پیشنهادی (ناپیوستگی حفرهای)**:
$$\mathbf{f(x) = \frac{۱}{(x - ۲)(x - ۳)}}$$
* **بررسی**: این تابع در $\mathbf{x=۲}$ و $\mathbf{x=۳}$ دارای **مجانب عمودی** است. در این نقاط حد موجود نیست و تابع ناپیوسته است. در بقیه نقاط پیوسته است.
* **نتیجه**: تابع $\mathbf{f(x) = \frac{۱}{(x - ۲)(x - ۳)}}$ فقط در دو نقطه $x=۲$ و $x=۳$ ناپیوسته است.
تمرین ۵ حداکثر مقدار $k$ برای پیوستگی جزء صحیح حسابان یازدهم
تابع $f(x) = [x]$ در بازه $(۲, k)$ پیوسته است. حداکثر مقدار $k$ چقدر است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم
سلام! تابع $\mathbf{f(x) = [x]}$ (جزء صحیح) یک تابع پلهای است که در **تمام اعداد صحیح** ناپیوسته است. برای اینکه تابع در یک **بازه باز** $\mathbf{(a, k)}$ پیوسته باشد، آن بازه **نباید شامل هیچ عدد صحیحی** باشد. 🧠
---
### ۱. نقاط ناپیوستگی تابع $f(x) = [x]$
نقاط ناپیوستگی تابع جزء صحیح، اعداد صحیح هستند: $\mathbf{\dots, -۱, ۰, ۱, ۲, ۳, ۴, \dots}$
### ۲. بررسی بازه $(۲, k)$
* **شروع بازه**: بازه از $athbf{x=۲}$ شروع میشود (و ۲ در بازه باز نیست).
* **اولین نقطه ناپیوستگی بعد از ۲**: اولین عدد صحیح بعد از ۲، عدد $athbf{۳}$ است.
* **شرط پیوستگی**: برای اینکه تابع در تمام بازه $(۲, k)$ پیوسته باشد، باید $k$ به گونهای باشد که **اولین عدد صحیح ناپیوسته (یعنی ۳)** در داخل این بازه قرار نگیرد.
### ۳. تعیین حداکثر $k$
اگر $athbf{k}$ برابر با $athbf{۳}$ باشد، بازه $athbf{(۲, ۳)}$ میشود.
* **در بازه $(۲, ۳)$**: $[x] = ۲$. ضابطه تابع $f(x) = [x] = ۲$ است که یک تابع ثابت است و پیوسته است.
اگر $k > ۳$ باشد (مثلاً $k=۳.۱$)، بازه $(۲, ۳.۱)$ شامل $athbf{۳}$ میشود و تابع در $x=۳$ ناپیوسته است.
**نتیجه**: حداکثر مقدار $k$ که باعث میشود تابع در بازه $(۲, k)$ پیوسته باقی بماند، $athbf{۳}$ است.
$$\mathbf{\text{حداکثر } k = ۳}$$
تمرین ۶ پیوستگی تابع رادیکالی در بازه بسته حسابان یازدهم
بازه بستهای را ارائه کنید که تابع $f(x) = ۲ - \sqrt{۳ - x}$ بر آن بازه پیوسته باشد.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم
سلام! برای پیدا کردن بازهای که یک **تابع رادیکالی** روی آن پیوسته باشد، ابتدا باید **دامنه تابع** را مشخص کنیم. توابع رادیکالی در دامنه خود پیوسته هستند. 🧠
---
### ۱. تعیین دامنه تابع ($D_f$)
تابع $f(x) = ۲ - \sqrt{۳ - x}$ شامل رادیکال با فرجه زوج است. عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد:
$$۳ - x \ge ۰ \implies ۳ \ge x \implies x \le ۳$$
$$\mathbf{D_f = (-\infty, ۳]}$$
### ۲. پیوستگی در بازه بسته
تابع $f(x) = ۲ - \sqrt{۳ - x}$ یک تابع رادیکالی است و در تمام دامنه خود $\mathbf{(-\infty, ۳]}$ پیوسته است.
* **شرط پیوستگی در بازه بسته $[a, b]$**: تابع باید در $(a, b)$ پیوسته باشد و در $a$ از راست و در $b$ از چپ پیوسته باشد.
### ۳. ارائه بازه بسته
ما میتوانیم هر بازه بستهای که زیرمجموعه دامنه $(-\infty, ۳]$ باشد را انتخاب کنیم.
* **پیوستگی از راست در $a$**: برای هر $a < ۳$, تابع در $a$ پیوسته است.
* **پیوستگی از چپ در $b$**: برای $b=۳$:
* $f(۳) = ۲ - \sqrt{۳ - ۳} = ۲$.
* $\lim_{x \to ۳^-} f(x) = ۲ - \sqrt{۳ - ۳} = ۲$.
* تابع در $x=۳$ از چپ پیوسته است. $\checkmark$
**بازه پیشنهادی (هر بازه $\mathbf{[a, 3]}$)**:
$$\mathbf{[۰, ۳]} \quad \text{یا} \quad \mathbf{[-۱, ۳]}$$
**نتیجه**: سادهترین بازه بسته پیشنهادی که شامل نقاط ناپیوستگی نیست، $\mathbf{[۰, ۳]}$ است.
---
تمرین ۷ تعیین پارامتر $a$ و $b$ برای پیوستگی در صفر حسابان یازدهم
مقدار $a$ و $b$ را چنان تعیین کنید که تابع $f(x) = \begin{cases} \frac{۱ - \cos x}{x^۲} & x > ۰ \\ b - ۱ & x = ۰ \\ x - ۲a & x < ۰ \end{cases}$ در $x = ۰$ پیوسته باشد.
پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۱۵۱ حسابان یازدهم
سلام! تابع در $\mathbf{x = ۰}$ پیوسته است اگر $\mathbf{\lim_{x \to ۰^-} f(x) = \lim_{x \to ۰^+} f(x) = f(۰)}$ باشد. 🤝
---
### گام اول: محاسبه حد راست ($athbf{x \to ۰^+}$)
* **ضابطه**: $f(x) = \frac{۱ - \cos x}{x^۲}$. حد مبهم $\frac{۰}{۰}$.
* **استفاده از قانون حد مثلثاتی**: $\lim_{x \to ۰} \frac{۱ - \cos x}{x^۲} = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$.
$$\mathbf{\lim_{x \to ۰^+} f(x) = \frac{۱}{۲}}$$
### گام دوم: محاسبه حد چپ ($athbf{x \to ۰^-}$)
* **ضابطه**: $f(x) = x - ۲a$.
* **محاسبه**: $\lim_{x \to ۰^-} (x - ۲a) = ۰ - ۲a = \mathbf{-۲a}$
### گام سوم: محاسبه مقدار تابع ($f(۰)$)
* **مقدار**: $\mathbf{f(۰) = b - ۱}$
### گام چهارم: اعمال شرط پیوستگی
حد چپ $=$ حد راست $=$ مقدار تابع:
$$\mathbf{\lim_{x \to ۰^-} f(x) = \lim_{x \to ۰^+} f(x)}$$
$$\mathbf{-۲a = \frac{۱}{۲}} \implies a = \frac{۱}{۲} \times (-\frac{۱}{۲}) \implies \mathbf{a = -\frac{۱}{۴}}$$
و مقدار تابع باید برابر حد باشد:
$$\mathbf{f(۰) = \lim_{x \to ۰} f(x)}$$
$$\mathbf{b - ۱ = \frac{۱}{۲}} \implies b = ۱ + \frac{۱}{۲} \implies \mathbf{b = \frac{۳}{۲}}$$
**نتیجه**:
$$\mathbf{a = -\frac{۱}{۴} \quad \text{و} \quad b = \frac{۳}{۲}}$$
